Exercices pratiques

Exercice 1 : Estimation de la moyenne d'une population normale

Énoncé

On mesure la taille (en cm) de $n=20$ individus tirés au hasard d'une population. On suppose que la taille suit une loi normale $\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ avec $\sigma =10$ cm.

Les données observées sont :

165, 172, 158, 180, 175, 168, 162, 177, 169, 173,
171, 166, 179, 164, 170, 176, 167, 174, 163, 178

Questions

1. Calculer la moyenne empirique ${\overline{X}}_n$ des observations
2. Calculer un intervalle de confiance à 95% pour $\mu$
3. Que peut-on conclure ?

Solution

1. Moyenne empirique

$${\overline{X}}_n=\frac{1}{20}\sum _{i=1}^{20}{X}_i=170.3\text{ cm}$$

2. Intervalle de confiance

Pour $\alpha =0.05$, on a $z_{\alpha /2}=z_{0.025}=1.96$.

L'intervalle de confiance est :

$$I{C}_{0.95}(\mu )=[170.3-1.96\times \frac{10}{\sqrt{20}},170.3+1.96\times \frac{10}{\sqrt{20}}]$$$$I{C}_{0.95}(\mu )=[170.3-4.38,170.3+4.38]=[165.92,174.68]$$

3. Conclusion

Avec 95% de confiance, la taille moyenne de la population se situe entre 165.92 cm et 174.68 cm.

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Exercice 2 : Méthode du maximum de vraisemblance

Énoncé

On observe $n$ réalisations $X_1,\dots ,X_n$ i.i.d. de loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda )$ de densité :

$$f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0$$

Questions

1. Écrire la fonction de vraisemblance $L(\lambda )$
2. Calculer la log-vraisemblance $\ell (\lambda )$
3. Trouver l'estimateur du maximum de vraisemblance ${\hat{\lambda }}_{MLE}$
4. Montrer que ${\hat{\lambda }}_{MLE}$ est sans biais

Solution

1. Vraisemblance

$$L(\lambda )=\prod _{i=1}^n\lambda e^{-\lambda x_i}={\lambda }^n{e}^{-\lambda \sum _{i=1}^n{x}_i}$$

2. Log-vraisemblance

$$\ell (\lambda )=n\log \lambda -\lambda \sum _{i=1}^n{x}_i$$

3. MLE

On dérive par rapport à $\lambda$ :

$$\frac{\partial \ell }{\partial \lambda }=\frac{n}{\lambda }-\sum _{i=1}^n{x}_i=0$$

D'où :

$${\hat{\lambda }}_{MLE}=\frac{n}{\sum _{i=1}^n{X}_i}=\frac{1}{{\overline{X}}_n}$$

4. Biais

On sait que $\mathbb{E}[X_i]=\frac{1}{\lambda }$, donc $\mathbb{E}[{\overline{X}}_n]=\frac{1}{\lambda }$.

Par l'inégalité de Jensen (car $x\mapsto 1/x$ est convexe) :

$$\mathbb{E}\left[\frac{1}{{\overline{X}}_n}\right]\ge \frac{1}{\mathbb{E}[{\overline{X}}_n]}=\lambda$$

Donc ${\hat{\lambda }}_{MLE}$ est biaisé (positivement).

Pour trouver l'espérance exacte, on peut utiliser le fait que $2\lambda \sum X_i\sim {\chi }_{2n}^2$.