Introduction

Un dé, un capteur bruité, le chrono d'un coureur à l'arrivée, la conversion d'un bouton testé sur deux versions d'une page : dans chacune de ces situations, le résultat exact est imprévisible, et pourtant nous voulons en dire quelque chose de précis, une chance, une valeur typique, une marge d'erreur. Ce chapitre pose la question de nature qui ouvre tout le cours : comment remplacer un phénomène imprévisible par un objet mathématique qui, lui, est parfaitement déterminé et calculable ? Ce remplacement, modéliser le hasard, s'installe ici sur un dé et sur un chrono de marathon, avant de se généraliser à un catalogue de lois usuelles et à un test A/B.

L'histoire du chapitre, en cinq temps

1. Décrire l'imprévisible par des nombres calculables. Sur le lancer d'un dé et le chrono d'un marathonien, nous isolons ce qui, malgré le hasard, se calcule : la chance d'un résultat, sa valeur moyenne, sa dispersion. Ces deux exemples, l'un où nous comptons, l'autre où nous mesurons, imposent d'emblée deux vocabulaires, variable aléatoire discrète et continue, et deux objets qui les décrivent.

2. Unifier ces deux vocabulaires dans un objet paramétré unique. La fonction de répartition réconcilie discret et continu dans un même formalisme, et fait apparaître ce que toute loi de probabilité est en réalité : un modèle réglé par un petit nombre de paramètres, noté $p(x;\theta )$, la notation qui traversera tout le cours.

3. Équiper ce modèle de résumés calculables. Une loi complète reste un objet encombrant ; l'espérance et la variance en donnent un résumé en deux nombres, suffisant pour comparer des lois entre elles sans les réénumérer intégralement.

4. Généraliser à un catalogue de lois usuelles. Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson côté discret ; uniforme, exponentielle, normale côté continu : quelques familles de lois suffisent à modéliser une conversion, une attente, un comptage d'événements rares.

5. Clore le catalogue par le théorème le plus utile du cours. La fiche de la loi normale se ferme sur le théorème central limite : sommer un grand nombre de v.a. i.i.d. produit une Gaussienne, quelle que soit la loi de départ, ce qui explique l'omniprésence de cette loi. Sa conséquence répond à la question qui restait entière : une quantité calculée sur des données, comme une moyenne, hérite bien du hasard de ce qui l'a produite, et sa loi est Gaussienne, resserrée en $1/\sqrt{n}$. Choisir puis ajuster un modèle $p(x;\theta )$ à des données est déjà tout le squelette de l'apprentissage supervisé, jusqu'à l'IA générative qui n'en est qu'un changement d'échelle.

Prérequis

Ce chapitre ne suppose aucun cours de probabilités antérieur : il construit son vocabulaire de zéro, il ne le rappelle pas. Il suppose en revanche une aisance avec les sommes et les intégrales d'une fonction d'une variable, la notation ensembliste élémentaire ($\cap$, $\cup$, complémentaire), et la manipulation de tableaux NumPy pour vérifier chaque résultat par simulation. L'environnement de travail est détaillé sur la page Organisation.

Ce que vous saurez faire à la fin

À l'issue de ce chapitre, vous saurez modéliser un phénomène aléatoire simple par une loi de probabilité paramétrée, discrète ou continue, en calculer et interpréter les grandeurs caractéristiques, et distinguer une variable aléatoire de sa réalisation.

#	Critère	Vous saurez...	Niveau
C1	Manipuler	Distinguer variable aléatoire et réalisation, discret et continu ; calculer une probabilité via une PMF, une PDF ou une fonction de répartition, ainsi qu'une espérance et une variance.	Appliquer
C2	Modéliser	Face à une situation décrite en mots, choisir la loi paramétrée adaptée, nommer son paramètre $\theta$, et justifier les hypothèses qui le permettent.	Analyser
C3	Raisonner sur l'aléatoire d'une statistique	Reconnaître qu'une moyenne empirique est elle-même une variable aléatoire, mobiliser le théorème central limite, et relier ce résultat à l'idée d'estimation.	Analyser

Question d'ouverture

Vous lancez dix fois un dé équilibré et calculez la moyenne des dix résultats obtenus. Un camarade, dans la salle voisine, fait de même avec dix autres lancers. Obtiendra-t-il la même moyenne que vous ? Et si chacun de vous lance le dé 10 000 fois plutôt que 10 ?

Ce chapitre confronte l'intuition à la loi de la moyenne, établie en fin de fiche sur la loi normale.

Plan

1. Fondations, le dé et le chrono du marathon comme fils rouges ; les événements comme ensembles ; la variable aléatoire et sa réalisation ; la description des cas discret (PMF) et continu (PDF), leur fonction de répartition commune, l'espérance, la variance et l'indépendance ; enfin la synthèse du cours : une loi est un modèle paramétré $p(x;\theta )$.
2. Lois discrètes, le catalogue discret : Bernoulli, binomiale, géométrique, Poisson et uniforme discrète, chaque fiche un modèle $p(x;\theta )$.
3. Lois continues, le catalogue continu : uniforme, exponentielle, normale et normale multidimensionnelle ; le théorème central limite, qui explique l'omniprésence de la Gaussienne, et sa conséquence sur la loi de la moyenne empirique.