Les tests classiques comme GLRT

En analyse de données expérimentales, les tests portent des noms : test t, test du ${\chi }^2$, ANOVA. Le chapitre 3 affirme que ce ne sont pas des outils nouveaux, mais des instances du GLRT dont la statistique suit une loi connue sous $H_0$, ce qui donne des seuils en table et le vocabulaire de la p-value. Ce projet le démontre : chaque test y est dérivé depuis le rapport de vraisemblance, sa loi sous $H_0$ vérifiée par Monte-Carlo, puis appliqué et confronté à la fonction scipy correspondante.

1. Lien avec le cours

Le projet applique le GLRT et le réglage de seuil à $P_{FA}$ imposée du chapitre 3, la solution des moindres carrés du chapitre 2 pour l'ANOVA, et la simulation de Monte-Carlo comme banc de vérification permanent.

2. Structure du code

Le cadre commun des projets s'applique : les modèles qui simulent les données sous chaque hypothèse, une fonction par statistique de test, et une fonction de calibration générique, réutilisable pour tout test dont la loi sous $H_0$ n'est pas connue.

def t_statistic(x, mu0):
    """One-sample t statistic."""
    ...


def chi2_statistic(counts, expected):
    """Pearson goodness-of-fit statistic."""
    ...


def f_statistic(groups):
    """One-way ANOVA F statistic, from the two least squares residuals."""
    ...


def calibrate_threshold(statistic, sample_h0, alpha, m, rng):
    """Empirical (1 - alpha) quantile of the statistic over m draws under H0."""
    ...

Tests imposés. Le méta-test de tout ce projet : pour chacun des trois tests, la fréquence de rejet sous $H_0$ au seuil $\alpha =5\mathrm{\%}$ retombe sur $5\mathrm{\%}$ à quatre écarts-types binomiaux près ; et sur un même jeu de données, vos statistiques coïncident numériquement avec sta.ttest_1samp, sta.chisquare et sta.f_oneway.

3. Travail demandé

1. Le test t, dérivation guidée. Reprendre le GLRT du décalage de moyenne lorsque $\sigma$ est inconnue : montrer que maximiser la vraisemblance sous chaque hypothèse conduit à une statistique équivalente à $t=\sqrt{N}(\overline{x}-{\mu }_0)/s$, où $s$ est l'écart-type estimé. Vérifier par Monte-Carlo que, sous $H_0$, l'histogramme de $t$ suit la loi de Student $t(N-1)$ (sta.t) et non la Gaussienne : superposer les trois courbes pour $N=5$, et commenter les queues.
2. Application du test t. Une machine remplit des bouteilles ($n=10$ mesures, consigne ${\mu }_0=500$ ml) : simuler une machine déréglée de $+3$ ml, tester au niveau $1\mathrm{\%}$, rapporter statistique, seuil et p-value, et confronter à sta.ttest_1samp.
3. Le test du χ². Implémenter la statistique de Pearson $\sum _k(O_k-E_k{)}^2/E_k$ et vérifier par Monte-Carlo que, sous $H_0$, elle suit ${\chi }^2(K-1)$. L'appliquer à un dé pipé, face 6 à $0,30$ au lieu de $1/6$ : tester à $120$ puis à $600$ lancers. Le résultat à $120$ lancers doit vous surprendre ; l'expliquer avec le vocabulaire du cours, la puissance $P_D$ du test à cet effectif, et en tirer la règle : ne pas rejeter $H_0$ ne prouve jamais $H_0$.
4. L'ANOVA, dérivation guidée. Pour $K$ groupes de mesures Gaussiennes de variance commune inconnue, poser les deux modèles emboîtés, une moyenne par groupe contre une moyenne commune, et montrer que le GLRT revient à seuiller $F={\displaystyle \frac{(J_0-J_1)/q}{J_1/(N-p)}}$, le rapport des résidus des deux ajustements par moindres carrés (indication : le MLE de la variance vaut $J/N$, et $\ln T_{\mathrm{GLRT}}=\frac{N}{2}\ln (J_0/J_1)$). Vérifier la loi $F(q,N-p)$ par Monte-Carlo, puis appliquer à trois machines ($n=10$ chacune, moyennes vraies $500$, $500$, $503$ ml) et confronter à sta.f_oneway.
5. Quand la loi n'est pas en table. Reprendre le test t avec un bruit non Gaussien (exponentiel centré) : la loi de Student n'est plus exacte. Calibrer le seuil avec calibrate_threshold, vérifier la $P_{FA}$ obtenue, et comparer aux seuils de Student : la calibration par simulation est la méthode qui marche toujours, c'est celle du décodeur DTMF.
6. Étude de puissance. Pour le test t et le dé pipé, tracer $P_D$ en fonction de l'effectif ($n$ de $5$ à $500$, Monte-Carlo). À partir de quel effectif chaque écart est-il détecté neuf fois sur dix au niveau $5\mathrm{\%}$ ?

4. Livrables

Le notebook reproductible des modalités communes, avec les deux dérivations guidées rédigées, les histogrammes de vérification des trois lois sous $H_0$, le tableau statistique/seuil/p-value des applications, et les courbes de puissance de l'étape 6.