Roulette et martingale

Une roulette européenne compte $37$ cases, dont $18$ rouges. Un joueur mise sur le rouge : il double sa mise s'il gagne, la perd sinon. La martingale est la stratégie la plus célèbre du casino : miser $1$ €, et doubler la mise après chaque perte, de sorte que la première victoire rembourse toutes les pertes et laisse $1$ € de gain. À première vue, la stratégie gagne à tous les coups. Ce projet établit, par le calcul puis par la simulation, pourquoi elle ne gagne pas.

1. Lien avec le cours

Le projet mobilise le chapitre 1 : la loi de Bernoulli pour un pari, la loi géométrique pour l'attente de la première victoire, l'espérance et la variance pour juger une stratégie, et la simulation de Monte-Carlo pour vérifier chaque calcul.

2. Structure du code

Le cadre commun des projets s'applique : le modèle d'abord, une classe au gabarit de scipy.stats, puis la stratégie, une fonction séparée qui consomme le modèle.

class Roulette:
    """European roulette, bet on red: a Bernoulli law in disguise."""

    def __init__(self):
        self.p = 18 / 37

    def rvs(self, size, rng):
        """size spins: 1 if red (win), 0 otherwise."""
        ...


def martingale_evening(roulette, capital, max_bets, rng):
    """Final gain of one evening with the doubling strategy."""
    ...

Tests imposés. La fréquence de victoire de Roulette.rvs vaut $18/37$ à quatre écarts-types près (gabarit test_mean), et l'invariant de la stratégie, un cycle de martingale achevé rapporte exactement $+1$ €, quel que soit le nombre de pertes qui précèdent.

3. Travail demandé

1. Le pari simple. Modéliser un pari sur le rouge par une loi de Bernoulli. Donner son paramètre $p$, puis l'espérance du gain pour une mise de $1$ €. Que vaut cette espérance par euro misé ? D'où vient le signe ?
2. La martingale idéale. Un cycle de martingale se termine à la première victoire. Quelle loi suit le nombre de paris d'un cycle ? Vérifier que le gain d'un cycle complet vaut toujours $+1$ €. Calculer l'espérance de la mise totale engagée dans un cycle : où le piège se cache-t-il ?
3. Capital fini. En pratique, le capital est borné et les tables ont une mise maximale. Calculer la probabilité de $k$ pertes consécutives, puis le capital nécessaire pour survivre à ces $k$ pertes. Pour un capital de $1000$ €, combien de pertes consécutives sont fatales ?
4. Simulation Monte-Carlo. Simuler $M=100000$ joueurs appliquant la martingale avec un capital initial fini, sur une soirée de $200$ paris au plus. Tracer l'histogramme du gain final. Commenter sa forme : que dit-elle que l'espérance seule ne dit pas ?
5. Confrontation. Comparer l'espérance empirique du gain à la prédiction analytique : la martingale change-t-elle l'espérance par euro misé ? Conclure en deux phrases sur ce qu'une stratégie de mise peut, et ne peut pas, changer.

4. Livrables

Le notebook reproductible des modalités communes, avec pour chaque étape le calcul analytique, sa vérification simulée, et une phrase de conclusion.