Taux d'erreur symbole en canal Gaussien

Une transmission numérique 2-PAM envoie un symbole $s\in \{-A,+A\}$, équiprobable, à travers un canal qui lui ajoute un bruit Gaussien :

$$x=s+w,w\sim \mathcal{N}(0,{\sigma }^2).$$

Le récepteur décide au signe de $x$. Quand le bruit dépasse $A$ dans la mauvaise direction, le symbole est faux : le taux d'erreur symbole (symbol error rate, SER) est la métrique reine des communications numériques, et ce projet le calcule deux fois, analytiquement puis par simulation, jusqu'à ce que les deux réponses coïncident.

1. Lien avec le cours

Le projet mobilise le chapitre 1 : la loi normale et sa standardisation pour le calcul exact, la loi de Bernoulli pour la précision de l'estimation d'une probabilité par une fréquence, et la simulation de Monte-Carlo.

2. Structure du code

Le modèle est la chaîne de transmission, une classe au gabarit de scipy.stats ; le taux d'erreur s'obtient de deux façons, une méthode analytique du modèle et une fonction de comptage Monte-Carlo, dont la confrontation est tout l'objet du projet.

class Channel2PAM:
    """2-PAM transmission over an additive Gaussian channel."""

    def __init__(self, amplitude, sigma):
        self.amplitude, self.sigma = amplitude, sigma

    def rvs(self, size, rng):
        """Simulate size transmissions: returns (symbols, received)."""
        ...

    def ser_analytical(self):
        """Exact symbol error rate."""
        ...


def ser_montecarlo(channel, size, rng):
    """Error frequency over size simulated transmissions."""
    ...

Tests imposés. À SNR modéré, ser_montecarlo retombe sur ser_analytical à quatre écarts-types binomiaux près, $\sqrt{P_e(1-P_e)/M}$ ; et le cas limite sans bruit, $\sigma \to 0$, donne un taux d'erreur nul.

3. Travail demandé

1. Le calcul exact. Exprimer la probabilité d'erreur $P_e=P(\text{décision}\ne s)$ par standardisation, en fonction de $A/\sigma$ et de la fonction $Q(u)=1-\mathrm{\Phi }(u)$. Tracer la courbe analytique de $P_e$ en fonction du rapport signal à bruit $\mathrm{SNR}=A^2/{\sigma }^2$, en dB, échelle logarithmique en ordonnée.
2. La simulation. Pour chaque SNR de $0$ à $12$ dB, simuler $M$ transmissions, compter les erreurs, superposer la courbe empirique à la courbe analytique.
3. La précision du comptage. Le comptage d'erreurs est une moyenne de Bernoulli : donner la variance de l'estimateur ${\hat{P}}_e$ en fonction de $P_e$ et $M$. Combien de transmissions faut-il pour estimer $P_e={10}^{-4}$ à $10\mathrm{\%}$ près ? Constater sur la courbe empirique où le comptage décroche faute de tirages.
4. Extension 4-PAM. Reprendre les étapes 1 et 2 pour quatre symboles $\{-3A,-A,+A,+3A\}$ équiprobables et une décision au plus proche symbole. Attention aux symboles intérieurs, exposés au bruit des deux côtés. À énergie moyenne de symbole égale, que perd la transmission en passant de 2 à 4 niveaux, et que gagne-t-elle ?

4. Livrables

Le notebook reproductible des modalités communes, avec la figure SER/SNR superposant analytique et Monte-Carlo pour les deux modulations, et la réponse chiffrée à la question du dimensionnement de $M$.