TP, Le théorème central limite

Le théorème central limite affirme qu'une somme de variables i.i.d., quelle que soit leur loi, devient Gaussienne. Ce TP le met à l'épreuve : trois lois de départ aussi différentes que possible, la mesure de la vitesse à laquelle la cloche apparaît, la conséquence pratique sur la moyenne empirique, et pour finir la loi qui résiste au théorème, car un théorème se comprend aussi par ses hypothèses.

1. Lien avec le cours

Le TP mobilise le TCL et son corollaire sur la moyenne empirique, les fiches des lois uniforme, exponentielle et Bernoulli, et, si vous l'avez fait, les classes du projet sur les lois usuelles.

2. Structure du code

Le modèle est la loi de départ, une classe à l'API rvs du projet 1 (ou scipy.stats). Une seule fonction d'expérience sert tout le TP :

def standardized_sums(law, n, m, rng):
    """m draws of the standardized sum of n iid variables from `law`."""
    x = law.rvs(size=(m, n), rng=rng)
    s = x.sum(axis=1)
    return (s - n * law.mean()) / np.sqrt(n * law.var())

Tests imposés. La sortie de standardized_sums a une moyenne d'ensemble proche de $0$ et une variance proche de $1$, pour toute loi d'entrée et tout $n$ : c'est la définition même de la standardisation, elle se teste avant toute figure.

3. Travail demandé

1. Le dé. Pour la somme de $n$ dés, $n\in \{1,2,5,30\}$, superposer l'histogramme de la somme standardisée et la densité $\mathcal{N}(0,1)$. À partir de quel $n$ la cloche est-elle convaincante ? Relier le cas $n=2$ à la loi triangulaire du cours.
2. L'exponentielle. Refaire l'étape 1 avec $\mathrm{Exp}(1)$, la loi la plus asymétrique du catalogue. Comparer la vitesse de gaussianisation à celle du dé : d'où vient la différence ?
3. L'événement rare. Refaire l'étape 1 avec une Bernoulli de paramètre $p=0,01$. Constater qu'à $n=30$, la somme standardisée n'a rien de Gaussien, et qu'il faut $n$ bien plus grand. Moralité à rédiger : « $n$ grand » dépend de la loi de départ, et les événements rares sont les pires clients du TCL.
4. La loi de la moyenne. Pour l'exponentielle, estimer par Monte-Carlo l'écart-type de la moyenne empirique ${\overline{X}}_n$ pour $n\in \{10,100,1000,10000\}$, et vérifier la décroissance en $\sigma /\sqrt{n}$ sur un tracé log-log. Combien de mesures pour diviser l'incertitude par $10$ ?
5. Le contre-exemple. Le rapport $Z=X/Y$ de deux $\mathcal{N}(0,1)$ indépendantes suit la loi de Cauchy, qui n'a ni espérance ni variance. Tracer la moyenne empirique de $n$ tirages de Cauchy en fonction de $n$ jusqu'à $n=100000$ : elle ne converge vers rien. Conclure : quelle hypothèse du théorème est violée, et pourquoi ce cas n'est pas une curiosité (les lois à queues lourdes existent, en finance comme en télétrafic) ?

4. Livrables

Le notebook reproductible des modalités communes, avec les grilles d'histogrammes des étapes 1 à 3, le tracé log-log de l'étape 4, et la trajectoire de la moyenne de Cauchy commentée.